三维旋转的表示

三维旋转矩阵

我们考虑主动旋转，并且通过$$\vec{r} = R\vec{r}$$定义相应的旋转矩阵$$R$$，其中$$r = (x,y,z)^T$$，于是绕固定轴（世界轴）XYZ(extrinsic rotations)的旋转矩阵$$R$$为

$$ R(\phi,X) = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&\cos(\phi) & -\sin(\phi) \\ 0& \sin(\phi) & \cos(\phi) \end{pmatrix} $$

$$ R(\phi,Y) = \begin{pmatrix} \cos(\phi)&0&\sin(\phi) \\ 0&1&0 \\ -\sin(\phi)&0&\cos(\phi) \end{pmatrix} $$

$$ R(\phi,Z) = \begin{pmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) & 0 \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

通过欧拉角表示三维旋转

考虑内旋(intrinsic rotations)定义下（即绕刚体轴旋转）的$$Z(\phi)-X'(\theta)-Z''(\psi)$$欧拉角旋转，依次旋转的角度为$$\phi,\theta,\psi$$旋转矩阵为 $$ R(\phi,\theta,\psi) = R(\psi,Z)R(\theta,X)R(\phi,Z) $$

这与外旋(extrinsic rotations)定义下（即绕世界轴旋转）的欧拉角$$Z(\psi)-X(\theta)-Z(\phi)$$的旋转矩阵相同