三维旋转的表示

三维旋转矩阵

我们考虑主动旋转，并且通过$$\vec{r} = R\vec{r}$$定义相应的旋转矩阵$$R$$，其中$$\vec{r} = (x,y,z)^T$$，于是绕固定轴（世界轴）XYZ(extrinsic rotations)的旋转矩阵$$R$$为

$$ R(\phi,X) = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&\cos(\phi) & -\sin(\phi) \\ 0& \sin(\phi) & \cos(\phi) \end{pmatrix} $$

$$ R(\phi,Y) = \begin{pmatrix} \cos(\phi)&0&\sin(\phi) \\ 0&1&0 \\ -\sin(\phi)&0&\cos(\phi) \end{pmatrix} $$

$$ R(\phi,Z) = \begin{pmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) & 0 \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

连续两次绕世界轴旋转的旋转$$(Z(\phi)-X(\theta))$$的旋转矩阵为$$R(\theta,X)R(\phi,Z)$$

在ROOT中，TRotation即为旋转矩阵，使用方法如下

TRotation r; 
//令r为绕轴TVector3(3,4,5)旋转Pi/3的旋转矩阵
r.Rotate(TMath::Pi()/3,TVector3(3,4,5));
//对向量v进行旋转r
TVector3 v;
TRotation r;
v.Transform(r);
v *= r;  //Attention v = r * v
//变为恒等变换
r.SetToIdentity();
//得到绕固定轴Z旋转phi,再绕固定轴X旋转theta的旋转矩阵
r.RotateZ(phi)
r.RotateX(theta)

通过欧拉角表示三维旋转

考虑内旋(intrinsic rotations)定义下（即绕刚体轴旋转）的$$Z(\psi)-X'(\theta)-Z''(\phi)$$欧拉角旋转，依次旋转的角度为$$\psi,\theta,\phi$$,它与外旋(extrinsic rotations)定义下（即绕世界轴旋转）的欧拉角$$Z(\phi)-X(\theta)-Z(\psi)$$的旋转效果相同，旋转矩阵均为 $$ R_{ZX'Z''}(\psi,\theta,\phi) = R_{ZXZ}(\phi,\theta,\psi) = R(\psi,Z)R(\theta,X)R(\phi,Z)'' $$